数学的奥秘有哪些,本质与思维学什么(这些知识你知道吗)

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“数”发展的历史顺序大体是:正整数、分数、无理数、负数、零、虚数(复数)。数在各个国家的发展不尽相同。

“数”发展的历史顺序大体是:正整数、分数、无理数、负数、零、虚数(复数)。数在各个国家的发展不尽相同。分数的产生在大多数民族都没有发生困难,但无理数的产生在古希腊引发了第一次数学危机。中国是世界上对负数认识最早的国家,负数是在《九章算术》中首先出现的。但欧洲人承认负数却在16世纪。

一. 无理数的发现

在“数”的发展史上,希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”。他们所说的数仅指整数,分数被看成两个整数之比,他们相信任何量都可以表示成两个整数之比。给定两条线段一定有一个公共度量,也就是说,给定任何两条线段,一定能找到第三条线段,也许很短,使得给定的线段都是这条线段的整数倍。由此可以得到结论,任何两条线段的比都是整数的比,或者说,这个比是有理数。然而,毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯(公元前470年左右)后来发现:并不是任意两条线段都有一个公共度量,即给定单位线段,存在着不可公度的线段。

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现在假设一个直角三角形的两条直角边的长度是1,那么斜边的长度是多少?根据勾股定理,我们知道斜边等于√2,但是√2等于多少呢?它能否写成两个整数比的形式呢?答案是否定的,即没有任何一个分数的平方为2,也就是说√2不是有理数。

定理 √2是无理数

首先,我们指出下面的简单事实:

偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数;

如果一个数的平方是偶数,那么这个数一定是偶数;

如果一个数的平方是奇数,那么这个数一定是奇数;

证明(反证法) 假定定理的结论不成立:√2不是无理数,而是有理数,即√2=p/q。通过约分,我们一定可以使得p和q没有公因数,这样一来,p、q不会同时是偶数。∴p=√2q,平方得p^2=2q^2,∴p^2是偶数,从而p是偶数,设p=2r,这时上式变为4r^2=2q^2,即q^2=2r^2,得出q^2是偶数,从而q也是偶数,这与p、q不会同时是偶数相矛盾。因此假设不成立,即√2是无理数。

这个证明可以在欧几里德的《原本》中找到,实际上远在欧几里德之前就已经有了证明。这是间接证明的一个最经典的例子。

二. 负数的引入

在生产实践中,人们往往需要测量具有相反意义的量,例如海拔高度等,因此负数也就应运而生了。

我国公元3世纪的刘徽已经对负数有了深刻的认识。在《九章算术注》中,他认为“今两算得失相反,要令正负以名之。”他还认为“言负者未必负于少,言正者未必正于多。”这两句话都是关于正负数的绝对值而言的,即负数的绝对值未必小、正数的绝对值未必大。这种思想与现代的数学思想是完全一致的。元朝的朱世杰在《算学启蒙》(1299年)中第一次明确提出正负数的乘除法则,他指出“同名相乘为正,异名相乘为负。”

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无论引入负数,还是引入无理数,都是数系扩充的重大步骤,也是人类对数系认识的重大进展。古希腊人是通过演绎思维发现了无理数,而中国古代的算学家则是通过算法思维引入了负数。

在7世纪,印度数学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲,但是,到了十六七世纪,欧洲的大多数数学家并不承认它是数,也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称为荒谬的数,例如,著名数学家巴斯卡认为,从0减去4纯粹是胡说。

1629年,吉拉尔(1590-1633)出版了他的著作《代数新发现》。在这本书中,他明确主张:负数和正数具有同等的地位;负数可以作为方程的根。他还指出,负数是正数的相反数。直到这个时期,在欧洲的数学舞台上,负数终于获得了一席之地。

三. 0的发现

人类很早发现了正整数、无理数、负数,但是,“0”的发现却晚得多。“0”最早源自于人们表示的“没有”,用一个空位来表示它,后来才逐渐地把它当成一个数来认识,这是一个漫长的过程。

在我国,战国时期人们就用“空”表示“0”了,但没有把“空”看作是一个单独的数。

印度人起初也用空位表示“0”,后记成“点”,最后发展为“圈”。直到公元11世纪,包括有“0”的印度数码和十进制记数法臻于成熟。特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位,而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数。“0”的发明是印度对世界文明的杰出贡献。

四. 虚数

前面讲述的数都是由实际应用产生的,虚数(复数)则是由数学问题引入的。

印度数学家婆什迦罗(1114-1185)是第一个遇到“虚数”的人,他认为x^2=-1这个式子没有意义,他说:“正数的平方是正数,负数的平方是正数,因此,一个正数的平方根有二:一正一负;负数没有平方根,因为它不是一个数。”

又过了300年之后,生命之船驶进1484年,法国数学家舒开(1445-1500)在《算术三篇》中,讨论了解二次方程4+x^2=3x的问题,得到根x=3/2±√-7/4,由于-7/4是负数,负数要开平方,这是他从未见过的怪物,他立刻写道:这根是不可能的。继印度人之后,舒开成为在其数学著作中讨论这种数的第二人。很明显,舒开已经拨响虚数概念的琴弦,却又把弦弄断了,推迟了虚数概念的降生。

61年后,第一个承认和认真讨论虚数的人是意大利数学家、怪杰卡尔丹(1501-1576)。他在《大法》中提出了一个问题:“两数的和是10,积是40,求这两个数。”他给出的运算方法用现代符号表示是这样的,设一个数为x,另一个数为10-x,可列出方程x(10-x)=40,整理得x^2-10x+40=0。他得到两个奇怪的根:x=5±√-15。卡尔丹心知肚明,一个负数要开平方是不允许的,但是在解方程中却产生了这个事实,他无法解释,负数的平方根是不是“数”,他十分为难,于是他在书上描述这个怪物说:“不管我的良心会受到多么大的责备,事实上5+√-15乘以5-√-15刚好是40!”于是他说:“算术就是这样神妙地搞下去的,它的目标,正如常言所说,是又精致又不中用的。”

1629年,荷兰的吉拉尔在《代数新发明》中说:“有人可以说这些不可能的根(复数根)有什么用?我回答:它有三方面的用处——一是它能满足一般法则,二是它们有用,并且方程除此之外没有别的解。”

笛卡尔也摒弃复根,并造出“虚数”这个词。他在《几何》中说:“真的和假的根并不总是实在的;它们有时是虚的。”他的实际论点是,负根可以通过变换方程而使之为正,但复根做不到,所以这些根不是实的而是虚的,它们不是数。

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甚至连牛顿也不认为复根是有意义的,理由是它们缺乏物理意义。

对复数在很长一段时间内没有正确的认识,这一状况可以从莱布尼茨的一段话中看出:“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示,这就是那个理想世界的征兆,那个介于存在与不存在之间的两栖物,那个我们称之为虚数的-1的平方根。”

复数为人们所接受的关键是复数及复数的代数运算获得了几何解释。挪威出生的测量员韦塞尔(1745-1818)和瑞士人阿尔冈(1768-1822)分别给出了复数和复数的代数运算的几何解释。我们现在用的基本上是阿尔冈的方法。

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在使人们接受复数方面,高斯作出了实质性的贡献。在代数基本定理的几个证明中他使用了复数,在数论中也使用了复数。在有关论文中,他阐述了复数的几何加法和乘法,并指出,在这个几何表示中,人们可以看出“复数的直观意义已完全建立起来,并且不需要增加什么就可以在算术领域中采用这些量。”这样一来,几何表示使人们对虚数有了一个全新的看法。高斯引进“复数”一词代替虚数,这就是我们现在通用的术语。

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