“数”发展的历史顺序大体是：正整数、分数、无理数、负数、零、虚数（复数）。数在各个国家的发展不尽相同。
“数”发展的历史顺序大体是：正整数、分数、无理数、负数、零、虚数（复数）。数在各个国家的发展不尽相同。分数的产生在大多数民族都没有发生困难，但无理数的产生在古希腊引发了第一次数学危机。中国是世界上对负数认识最早的国家，负数是在《九章算术》中首先出现的。但欧洲人承认负数却在16世纪。
一. 无理数的发现
在“数”的发展史上，希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”。他们所说的数仅指整数，分数被看成两个整数之比，他们相信任何量都可以表示成两个整数之比。给定两条线段一定有一个公共度量，也就是说，给定任何两条线段，一定能找到第三条线段，也许很短，使得给定的线段都是这条线段的整数倍。由此可以得到结论，任何两条线段的比都是整数的比，或者说，这个比是有理数。然而，毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯（公元前470年左右）后来发现：并不是任意两条线段都有一个公共度量，即给定单位线段，存在着不可公度的线段。
现在假设一个直角三角形的两条直角边的长度是1，那么斜边的长度是多少？根据勾股定理，我们知道斜边等于√2，但是√2等于多少呢？它能否写成两个整数比的形式呢？答案是否定的，即没有任何一个分数的平方为2，也就是说√2不是有理数。
定理 √2是无理数
首先，我们指出下面的简单事实：
偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数；
如果一个数的平方是偶数，那么这个数一定是偶数；
如果一个数的平方是奇数，那么这个数一定是奇数；
证明（反证法） 假定定理的结论不成立：√2不是无理数，而是有理数，即√2=p/q。通过约分，我们一定可以使得p和q没有公因数，这样一来，p、q不会同时是偶数。∴p=√2q，平方得p^2=2q^2，∴p^2是偶数，从而p是偶数，设p=2r，这时上式变为4r^2=2q^2，即q^2=2r^2，得出q^2是偶数，从而q也是偶数，这与p、q不会同时是偶数相矛盾。因此假设不成立，即√2是无理数。
这个证明可以在欧几里德的《原本》中找到，实际上远在欧几里德之前就已经有了证明。这是间接证明的一个最经典的例子。
二. 负数的引入
在生产实践中，人们往往需要测量具有相反意义的量，例如海拔高度等，因此负数也就应运而生了。
我国公元3世纪的刘徽已经对负数有了深刻的认识。在《九章算术注》中，他认为“今两算得失相反，要令正负以名之。”他还认为“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”这两句话都是关于正负数的绝对值而言的，即负数的绝对值未必小、正数的绝对值未必大。这种思想与现代的数学思想是完全一致的。元朝的朱世杰在《算学启蒙》（1299年）中第一次明确提出正负数的乘除法则，他指出“同名相乘为正，异名相乘为负。”
无论引入负数，还是引入无理数，都是数系扩充的重大步骤，也是人类对数系认识的重大进展。古希腊人是通过演绎思维发现了无理数，而中国古代的算学家则是通过算法思维引入了负数。
在7世纪，印度数学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲，但是，到了十六七世纪，欧洲的大多数数学家并不承认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称为荒谬的数，例如，著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
1629年，吉拉尔（1590-1633）出版了他的著作《代数新发现》。在这本书中，他明确主张：负数和正数具有同等的地位；负数可以作为方程的根。他还指出，负数是正数的相反数。直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负数终于获得了一席之地。
三. 0的发现
人类很早发现了正整数、无理数、负数，但是，“0”的发现却晚得多。“0”最早源自于人们表示的“没有”，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。
在我国，战国时期人们就用“空”表示“0”了，但没有把“空”看作是一个单独的数。
印度人起初也用空位表示“0”，后记成“点”，最后发展为“圈”。直到公元11世纪，包括有“0”的印度数码和十进制记数法臻于成熟。特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数。“0”的发明是印度对世界文明的杰出贡献。
四. 虚数
前面讲述的数都是由实际应用产生的，虚数（复数）则是由数学问题引入的。
印度数学家婆什迦罗（1114-1185）是第一个遇到“虚数”的人，他认为x^2=-1这个式子没有意义，他说：“正数的平方是正数，负数的平方是正数，因此，一个正数的平方根有二：一正一负；负数没有平方根，因为它不是一个数。”
又过了300年之后，生命之船驶进1484年，法国数学家舒开（1445-1500）在《算术三篇》中，讨论了解二次方程4+x^2=3x的问题，得到根x=3/2±√-7/4，由于-7/4是负数，负数要开平方，这是他从未见过的怪物，他立刻写道：这根是不可能的。继印度人之后，舒开成为在其数学著作中讨论这种数的第二人。很明显，舒开已经拨响虚数概念的琴弦，却又把弦弄断了，推迟了虚数概念的降生。
61年后，第一个承认和认真讨论虚数的人是意大利数学家、怪杰卡尔丹（1501-1576）。他在《大法》中提出了一个问题：“两数的和是10，积是40，求这两个数。”他给出的运算方法用现代符号表示是这样的，设一个数为x，另一个数为10-x，可列出方程x（10-x）=40，整理得x^2-10x+40=0。他得到两个奇怪的根：x=5±√-15。卡尔丹心知肚明，一个负数要开平方是不允许的，但是在解方程中却产生了这个事实，他无法解释，负数的平方根是不是“数”，他十分为难，于是他在书上描述这个怪物说：“不管我的良心会受到多么大的责备，事实上5＋√-15乘以5-√-15刚好是40！”于是他说：“算术就是这样神妙地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的。”
1629年，荷兰的吉拉尔在《代数新发明》中说：“有人可以说这些不可能的根（复数根）有什么用？我回答：它有三方面的用处——一是它能满足一般法则，二是它们有用，并且方程除此之外没有别的解。”
笛卡尔也摒弃复根，并造出“虚数”这个词。他在《几何》中说：“真的和假的根并不总是实在的；它们有时是虚的。”他的实际论点是，负根可以通过变换方程而使之为正，但复根做不到，所以这些根不是实的而是虚的，它们不是数。
甚至连牛顿也不认为复根是有意义的，理由是它们缺乏物理意义。
对复数在很长一段时间内没有正确的认识，这一状况可以从莱布尼茨的一段话中看出：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的征兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚数的-1的平方根。”
复数为人们所接受的关键是复数及复数的代数运算获得了几何解释。挪威出生的测量员韦塞尔（1745-1818）和瑞士人阿尔冈（1768-1822）分别给出了复数和复数的代数运算的几何解释。我们现在用的基本上是阿尔冈的方法。
在使人们接受复数方面，高斯作出了实质性的贡献。在代数基本定理的几个证明中他使用了复数，在数论中也使用了复数。在有关论文中，他阐述了复数的几何加法和乘法，并指出，在这个几何表示中，人们可以看出“复数的直观意义已完全建立起来，并且不需要增加什么就可以在算术领域中采用这些量。”这样一来，几何表示使人们对虚数有了一个全新的看法。高斯引进“复数”一词代替虚数，这就是我们现在通用的术语。
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