棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

 

棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

以棱柱、棱锥和棱台的教学为知识背景的高考数学题型,一方面是为了传播数学概念教学中数学核心素养,通过设计合理抽象过程、融合不同推理形式、渗透数学历史文化、转变学生学习方式等路径;另一方面,可以通过这些题型,很好的考查考生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学综合能力。

考生要学会通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法学习立体几何,这样处理符合认知特点,有利于降低立体几何学习的门槛,提高学生的学习兴趣。

几何体的表面积和体积问题是高考数学的热点内容,它常见的问题一般会这样去出题,棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积对于棱柱、棱锥、棱台的表面积,多采用面积累加的方式求解,特别地,若为正棱柱(锥、台),各侧面积相等,可用乘法计算;计算其体积时,关键是求底面积和高。

棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

典型例题分析1:

如图,直三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AA′=2AC=2BC,E为AA′的中点,C′E⊥BE.

(1)求证:C′E⊥平面BCE;

(2)若AC=2,求三棱锥B′﹣ECB的体积.

棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

证明:(1)在矩形A′ACC′中,E为A′A中点且AA′=2AC,

∴EA=AC,EA′=A′C′,

∴∠AEC=∠A′EC=45°,

∴C′E⊥EC,

∵C′E⊥BE,CE∩BE=E,

∴C′E⊥平面BCE;

(2)解:∵B′C′∥BC,B′C′⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,

∴B′C′∥平面BCE,

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB,

∵C′E⊥平面BCE,

∴C′E⊥BC,

∵BC⊥CC′,C′E∩CC′=C′,

∴BC⊥平面ACC′A′′

∴BC⊥CE,

∵AC=2,

∴BC=2,EC=EC′=2√2,

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB=1/3×1/2×2×2√2×2√2=8/3.

考点分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.

题干分析:

(1)证明C′E⊥EC,利用C′E⊥BE,CE∩BE=E,即可证明C′E⊥平面BCE;

(2)利用等体积转化求三棱锥B′﹣ECB的体积.

棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

​典型例题分析2:

如图,底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=1/2·AA1=1,D是棱AA1上的动点.

(1)证明:DC1⊥BC;

(2)求三棱锥C﹣BDC1的体积.

棱锥体积公式和推导过程是什么?(作为高考题,并不难,但它是必考热点)

证明:(1)如图,∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,

∴CC1⊥底面ABC,又CC1⊂面ACC1A1,

∴面ACC1A1⊥底面ABC,而面ACC1A1∩底面ABC=AC,

由△ABC为Rt△,且AC=BC,得BC⊥AC,

∴BC⊥平面ACC1A1,

∴BC⊥DC1;

(2)解:由(1)知,BC⊥平面ACC1A1,

∵AC=BC=1/2·AA1=1,

∴AA1=2,

则S△CDC1=1/2×2×1=1

∴VC-BDC1=VB-CDC1=1/3×1×1=1/3.

考点分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.

题干分析:

(1)由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直,由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1,进一步得到BC⊥DC1;

(2)利用等积法,把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解.

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